Questões abordando geometria plana e espacial aparecem em todas as edições do Enem, então perguntamos: você sabe como responder essas questões?
A geometria é a área da matemática que estuda formas geométricas em comprimento, área e volume. Dentro dessa área existem três categorias: e a geometria analítica, plana e espacial.
Sendo que a geometria plana e espacial são duas categorias que analisam figuras no plano e no espaço. A primeira focando em objetos em duas dimensões e a segunda, objetos em três dimensões.
Neste artigo, nós vamos explorar o tema da geometria plana e espacial para ajudar você a praticar para o Enem.
Por isso, vamos falar sobre o que mais cai na prova de matemática, o que são a geometria plana e espacial e questões para você estudar.
Você vai conferir:
A prova do Enem reúne conteúdos presentes no currículo escolar do ensino médio.
Esses conteúdos foram divididos na prova em quatro áreas do conhecimento:
Cada área conta com 45 questões objetivas no Enem, ou seja, o exame tem 180 perguntas no total.
Existe um documento elaborado pelo Ministério da Educação (o MEC), a Matriz de Referência do Enem, onde você pode conferir todas as matérias que caem na prova de Matemática e suas Tecnologias.
Diferente das outras provas, essa área do conhecimento não aborda mais do que uma disciplina. A prova de matemática e suas tecnologias foca na matemática.
Abaixo, fizemos um breve levantamento dos conteúdos que mais caem:
Dentre esses, geometria plana e espacial é um assunto recorrente na prova.
🔵Leia também: Como calcular a nota do Enem: um guia prático para saber sua média
Embora a geometria plana e espacial partam do mesmo ponto, o estudo de figuras, elas se diferem porque estudam diferentes dimensões.
A geometria plana é o estudo de figuras em duas dimensões, como quadrados, círculos, retângulos e triângulos.
Enquanto a geometria espacial estuda figuras em três dimensões, ou seja, cubos, esferas, paralelepípedos e pirâmides.
Os conceitos primitivos são a base da geometria, em cima do que ela é construída, porém são conceitos sem definição.
E embora não tenham uma definição, nós conseguimos entender o que são esses conceitos primitivos e como eles se relacionam.
Estes são os conceitos primitivos:
É importante dizer que, embora não se tenha uma definição conceitual para os conceitos primitivos, nós ainda podemos tentar defini-los a partir de sua formação e características.
A geometria plana, também conhecida como euclidiana, é o estudo de figuras em duas dimensões, aquelas que não possuem volume.
Ela foi criada pelo matemático Euclides de Alexandria e explora a propriedade e os tamanhos de figuras planas aplicando fórmulas matemáticas para encontrar sua área e perímetro.
Além dos conceitos primitivos já citados, existem outros conceitos que ajudam a formar a geometria plana. São eles:
Figuras planas são superfícies que possuem comprimento e largura, não possuindo volume.
São formadas por segmentos de retas e classificadas entre polígonos e não polígonos.
Dentro das figuras planas também existem os paralelogramos, que são formas de quatro lados iguais cujos lados opostos são paralelos. Por exemplo, um retângulo.
As figuras geométricas planas são:
O triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de retas, tendo três lados, e ângulos internos que somam 180°. Existem três classificações de triângulos:
Fonte: trabalhosparaaescola.com.br
Existe também uma classificação dos triângulos de acordo com seus ângulos.
O quadrado é um polígono que tem quatro lados iguais, quatro segmentos de retas, e está presente no grupo dos quadriláteros, figuras com quatro lados. Possui ângulos internos retos (90°) e iguais.
O retângulo é um paralelogramo que tem todos os ângulos internos retos, ou seja, com 90°. Ele possui quatro lados, porém seus lados divergem de tamanho.
Os lados verticais e horizontais são paralelos entre si.
Fonte: infoescola.com
O trapézio também é um paralelogramo que possui seis lados. A soma de seus ângulos internos chega a 360°.
Como principal característica, o trapézio tem bases paralelas, uma maior do que a outra, e lados paralelos. Pode ser classificado como:
Fonte: infoescola.com
O losango também é um paralelogramo e um quadrilátero, porém ele possui diagonais paralelas que formam um ângulo de 90°.
Fonte: wikipedia.org
Já o círculo não é um paralelogramo, nem um quadrilátero e nem um polígono. O círculo é um não polígono, pois é uma figura formada apenas de pontos no plano.
Ele é composto pelo raio (r), que é o valor da distância entre o centro do círculo e seu contorno.
Fonte: infoescola.com
Cada uma das figuras descritas acima têm uma fórmula específica para que seja calculada sua área.
Vamos ver cada uma delas:
Existem algumas fórmulas diferentes, dependendo da classificação do triângulo.
Por exemplo, para calcular a área do triângulo retângulo, é preciso multiplicar a base e altura e dividir por dois. A fórmula é a seguinte: A = b*h / 2 (Sendo A, área, b, base e h, altura).
Já no cálculo para triângulos equiláteros, a fórmula é a seguinte: A = l² * √3 / 2 (Sendo A, a área e l, o lado).
Já para calcular a área de triângulos com ângulos internos menores do que 90°, podemos usar trigonometria (cosseno, seno e semiperímetro).
Para encontrar a área do retângulo, você precisa multiplicar a base pela altura. A fórmula fica assim: A = b*h (Sendo A, a área, b, a base e h, a altura).
Para encontrar a área do quadrado, você precisa encontrar a medida de um dos lados e elevar ao quadrado. Ou seja: A = l² (Sendo A representando a área e l, lado).
A área do trapézio é encontrada multiplicando a altura pela soma da base maior com a menor e dividindo por dois.
Na fórmula: A = (B+b)*2 / 2 (Sendo A, a área, B, a base maior e b, a base menor).
Para encontrar a área do losango, é preciso multiplicar a diagonal maior pela menor e dividir por dois.
Como na fórmula: A = D*d / 2 (Sendo A, a área, D, a diagonal maior e d, a diagonal menor).
O cálculo da área do círculo possui uma constante, o Pi (π), aproximadamente 3,14.
Por isso, para encontrar a área do círculo bastante elevar o raio ao quadrado e multiplicar por π. Ou seja: A = π*r² (Sendo A, área e r, raio).
🔵Leia também: Pontuação do Enem: quanto precisa alcançar para entrar na faculdade?
Já a geometria espacial é o estudo de figuras sólidas no espaço, ou seja, figuras em três dimensões.
Elas possuem comprimento, largura e altura ou comprimento, largura e profundidade.
A ideia de geometria espacial é muito antiga, sendo que o povo Egípcio já a utilizava, como podemos ver no Papiro de Rhind e no Papiro de Moscou.
Os documento datam de cerca de 1650 a.C., e podemos ver a resolução de cálculos do volume de poliedros.
Assim como a geometria plana, a geometria espacial também utiliza os conceitos primitivos, já que eles são a base de toda a geometria.
Porém, a geometria espacial também tem seus próprios conceitos:
Fonte: escolakids.uol.com.br
Além disso, a geometria espacial também tem conceitos que abrangem as posições relativas entre os conceitos primitivos.
Ou seja, como pontos, retas e planos se relacionam dentro do espaço.
Dentro das figuras espaciais ainda existem os Sólidos de Platão.
Este conceito nasceu do desejo do filósofo de explicar o universo a partir da geometria.
Então, ele associou cinco sólidos geométricos à natureza. São eles:
Fonte: escolaeducacao.com.br
Analisando os sólidos de Platão, Euler, um matemático, chegou a uma fórmula que pode ser usada para encontrar qualquer um dos três elementos de um poliedro convexo (arestas, vértice e face).
Esta é a fórmula de Euler:
Também existe dentro da geometria espacial, uma classificação de figuras tridimensionais que possuem a base redonda, ou seja, um círculo.
Elas são construídas a partir da rotação de um círculo e podem ser: esferas, cilindros e cones.
Fonte: mundoeducacao.uol.com.br
As figuras espaciais são formadas por pontos e retas, possuem comprimento, largura e altura (às vezes, comprimento, largura e profundidade) e têm volume.
Elas podem ser classificadas como poliedros e não poliedros:
Dentro da classificação dos poliedros, ainda existe a classificação entre convexo e côncavo.
Os poliedros côncavos são aqueles cujas faces não estão contidas no semiespaço. Já os poliedros convexos são aqueles que têm faces que se encontram totalmente no semiespaço.
Ainda dentro dos poliedros convexos, eles podem ser regulares (como os sólidos de Platão, que tem faces iguais) ou irregulares.
Os poliedros irregulares são formados por faces divergentes, como as pirâmides e os prismas, que têm faces de tamanhos e formas diferentes.
Fonte: casadamatematica.com.br
De acordo com o número de faces, os poliedros são classificados dessa maneira:
E assim por diante. Por exemplo, uma figura de 30 faces é chamada de Triacontágono.
Cada figura dentro da geometria especial tem uma fórmula própria e os cálculos mais comuns envolvem descobrir a área total (At) e o volume (V - não confundir com o vértice, que na Fórmula de Euler também é V).
Vamos ver todas elas:
As pirâmides são sólidos formados por uma base poligonal, ou seja, uma figura plana fechada formada por pontos e retas, e um vértice que une todas as arestas.
As pirâmides podem ser classificas de acordo com sua inclinação: retas, quando tem ângulo de 90°, e oblíquas, quando tem ângulos diferentes de 90°.
Fonte: conhecimentocientifico.com
As fórmulas das pirâmides são:
Sendo At, a área total, Al, a área lateral, Ab, a área da base e h, a altura.
Os prismas são formados por duas faces planas que tem o mesmo tamanho e forma e laterais compostas por paralelogramos, cujos lados opostos são iguais, ou quadriláteros.
Podem ser classificados de acordo com inclinação como retos ou oblíquos. Cubos e paralelepípedos estão dentro dessa categoria.
Fonte: todamateria.com.br
As fórmulas para calcular a área total e volume dos prismas são:
Sendo que a área da base é representada por Ab, a área, por a, e a altura por h.
Os corpos redondos, como explicamos acima, são figuras com bases circulares. São eles os cones, cilindros e esferas.
Também podem ser classificados como retos e oblíquos, dependendo de seus ângulos.
As fórmulas são as seguintes:
Sendo que At é a área total, Ab é a área da base, Al é a área lateral, p é o Pi, r é o raio, h é a altura e V, volume.
🔵Leia também: Como entrar na faculdade? Conheça as principais formas de ingresso
Certo, agora que você já entendeu o que é a geometria plana e espacial e já conferiu conceitos e fórmulas, vamos aos exercícios.
Este é um conteúdo que sempre aparece no Enem, então reunimos algumas questões que já passaram pela prova para você praticar.
Confira as respostas na conclusão deste artigo. Vamos lá:
Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água. Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
Chegando ao final deste artigo, esperando que você tenha conseguido tirar suas dúvidas sobre os conteúdos de geometria plana e espacial que caem no Enem.
Confira as respostas das questões acima:
